Высота конуса равна 9 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите объем конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, у которого:

• вершина треугольника — вершина конуса,

• основание треугольника — диаметр основания конуса $2r$,

• высота этого треугольника (опущенная из вершины на основание) равна высоте конуса $h$.

По условию:

1) Найдём радиус основания $r$

В осевом сечении получаем равнобедренный треугольник с вершиной $60^\circ$. Высота, опущенная из вершины, делит этот угол пополам, значит каждый из получившихся углов равен:

Эта же высота делит основание пополам, поэтому половина основания — это радиус $r$.

Получаем прямоугольный треугольник, где:

• прилежащий катет к углу $30^\circ$ — это высота конуса $h=9$,

• противолежащий катет — это радиус $r$.

Тогда:

А так как $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то:

2) Найдём объём конуса

Формула объёма конуса:

Подставим $r=3\sqrt{3}$ и $h=9$:

Ответ