Исследуйте функцию и постройте её график: y = x³ - 3x.
План исследования:
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с координатными осями.
3. Проверить на чётность/нечётность.
4. Исследовать на монотонность и точки экстремума.
5. Определить промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
6. Начертить график.

Исследуем функцию

по предложенному плану и построим её график.

1. Область определения функции

Функция $y=x^3-3x$ является многочленом третьей степени.

Многочлен определён при любых действительных значениях $x$, поскольку не содержит знаменателей, корней чётной степени и логарифмов.

Следовательно, область определения:

2. Точки пересечения графика с координатными осями

С осью $Ox$:

Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, приравняем $y$ к нулю:

Вынесем $x$ за скобки:

Получаем:

Откуда:

Точки пересечения с осью $Ox$:

С осью $Oy$:

При пересечении с осью ординат $x=0$.

Подставим:

Получаем точку:

Таким образом, график проходит через начало координат.

3. Проверка функции на чётность и нечётность

Функция называется чётной, если $f(-x)=f(x)$, и нечётной, если $f(-x)=-f(x)$.

Найдём $f(-x)$:

Вынесем минус:

Следовательно,

Вывод: функция нечётная. Её график симметричен относительно начала координат.

4. Исследование на монотонность и точки экстремума

Для исследования найдём первую производную функции.

Вынесем общий множитель:

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

Отсюда:

Эти точки