Исследовать функцию на четность или нечетность y = tgx / x.

Функция $y = \frac{\tan x}{x}$ — интересный объект для исследования на четность или нечетность. Давайте разберемся подробно, как это сделать.

Шаг 1: Определим область определения функции

Функция $y = \frac{\tan x}{x}$ состоит из двух выражений: $\tan x$ и $\frac{1}{x}$. У каждого из них есть свои особенности:

• $\tan x$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, так как в этих точках происходит разрыв (асимптота).

• $\frac{1}{x}$ не определена в точке $x = 0$.

Значит, область определения функции:

Шаг 2: Проверим функцию на четность или нечетность

Определения:

• Функция четная, если $f(-x) = f(x)$

• Функция нечетная, если $f(-x) = -f(x)$

Проверим $f(-x)$:

Известно, что $\tan(-x) = -\tan x$, следовательно:

Значит, выполняется условие $f(-x) = f(x)$.

Вывод:

Функция $y = \frac{\tan x}{x}$ — четная, так как $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Важно подчеркнуть, что при проверке четности и нечетности необходимо учитывать только те значения $x$, для которых функция определена. В данном случае, несмотря на разрывы в определенных точках, для всех остальных значений $x$, где функция существует, она удовлетворяет свойству четности.

Хочешь, я помогу построить график этой функции для наглядности?