Вычислить интеграл ∫xe^x dx методом интегрирования по частям.

Вычислим неопределённый интеграл:

Для решения воспользуемся методом интегрирования по частям.

Шаг 1. Запишем формулу интегрирования по частям

где $u$ и $v$ — функции переменной $x$.

Шаг 2. Выберем $u$ и $dv$

Положим:

Теперь найдём $du$ и $v$.

Дифференцируем $u$:

Интегрируем $dv$:

Таким образом, получаем:

Шаг 3. Применим формулу интегрирования по частям

Подставим найденные выражения в формулу:

Поскольку

получаем:

Вынесем общий множитель $e^x$:

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 4. Проверим результат

Чтобы убедиться в правильности ответа, найдём производную полученной функции:

По правилу дифференцирования произведения:

Упростим:

Получили исходную подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл вычислен верно.

Ответ: