Найдите интеграл, используя метод интегрирования по частям: ∫(5x+12)sin(x/3)dx.

Применим интегрирование по частям: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).

Положим \(u = 5x + 12\), тогда \(du = 5 \, dx\).
\(dv = \sin(x/3) \, dx\), тогда \(v = \int \sin(x/3) \, dx = -3 \cos(x/3)\).

Подставляем:
\(\int (5x+12)\sin(x/3) \, dx = (5x+12)(-3\cos(x/3)) - \int (-3\cos(x/3)) \cdot 5 \, dx\)
\(= -3(5x+12)\cos(x/3) + 15 \int \cos(x/3) \, dx\).

\(\int \cos(x/3) \, dx = 3 \sin(x/3)\).

Итак, \(\int (5x+12)\sin(x/3) \, dx = -3(5x+12)\cos(x/3) + 15 \cdot 3 \sin(x/3) + C\)
\(= -3(5x+12)\cos(x/3) + 45 \sin(x/3) + C\).

0 0 Пожаловаться