1.Найдите неопределённый интеграл
5dx/x^2
2.Вычислите интеграл
x^3dx от 2/3 до 1
3.Вычислите интеграл
dx/x^2 от 1 до 3
Если можно,то с развёрнутым решением,буду благодарен!

Разберём все три интеграла подробно, по порядку, с объяснением каждого действия.

1. Найти неопределённый интеграл

Решение:

Сначала вынесем постоянный множитель 5 за знак интеграла:

Представим дробь в виде степени:

Тогда получаем:

Воспользуемся формулой интегрирования степенной функции:

В нашем случае $n=-2$. Подставляем:

Так как $x^{-1}=\frac1x$, получаем:

Ответ:

Здесь $C$ — произвольная постоянная. Её обязательно добавляют при вычислении неопределённого интеграла.

2. Вычислить определённый интеграл

Решение:

Для вычисления определённого интеграла воспользуемся формулой Ньютона — Лейбница:

где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$.

Шаг 1. Найдём первообразную.

По формуле интегрирования степенной функции:

Шаг 2. Подставим пределы интегрирования.

Верхний предел равен $1$, нижний — $\frac23$.

Подставляем сначала верхний предел, затем вычитаем значение при нижнем:

Шаг 3. Выполним вычисления.