1. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке М.
1) Выразите вектор AM через векторы AB и BC.
2) Найдите |BC|, если диагонали ромба равны 12 и 16.
3) Найдите |AC|, если A(3;1), C(-1;4).
2. Даны точки A(3;1), B(-1;4), C(2;-3), D(-2;-4).
1) Найдите координаты и длины векторов AC и BD.
2) Найдите координаты и длину вектора m = 3AC - 4BD.

1. Ромб \( ABCD \)

Диагонали ромба пересекаются и делятся пополам, значит точка \( M \) — середина диагонали \( AC \).

1) Так как \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \), то

\[ \vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC}) \]

2) В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Половины диагоналей равны \( 6 \) и \( 8 \). Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника:

\[ |BC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \]

Ответ: \( |BC| = 10 \).

3) Если \( A(3;1) \), \( C(-1;4) \), то

\[ |AC| = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \]

Ответ: \( |AC| = 5 \).

2. Точки \( A(3;1) \), \( B(-1;4) \), \( C(2;-3) \), \( D(-2;-4) \)

1) Координаты вектора \( \vec{AC} \):

\[ \vec{AC} = (2 - 3; -3 - 1) = (-1; -4) \]

Длина:

\[ |AC| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{17} \]

Координаты вектора \( \vec{BD} \):

\[ \vec{BD} = (-2 - (-1); -4 - 4) = (-1; -8) \]

Длина:

\[ |BD| = \sqrt{(-1)^2 + (-8)^2} = \sqrt{65} \]

2) Найдём вектор \( \vec{m} = 3\vec{AC} - 4\vec{BD} \):

\[ 3\vec{AC} = 3(-1; -4) = (-3; -12) \]

\[ 4\vec{BD} = 4(-1; -8) = (-4; -32) \]

\[ \vec{m} = (-3; -12) - (-4; -32) = (1; 20) \]

Длина вектора:

\[ |\vec{m}| = \sqrt{1^2 + 20^2} = \sqrt{401} \]

Ответ: \( \vec{AC} = (-1; -4) \), \( |AC| = \sqrt{17} \); \( \vec{BD} = (-1; -8) \), \( |BD| = \sqrt{65} \); \( \vec{m} = (1;20) \), \( |\vec{m}| = \sqrt{401} \).

0 0 Пожаловаться