Срочно! Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике \(\mathrm{ABC}\) медиана \(\mathrm{AM}\) одновременно является высотой. Тогда точка \(\mathrm{M}\) — середина стороны \(\mathrm{BC}\), поэтому \(\mathrm{BM=MC}\). Кроме того, \(\mathrm{AM\perp BC}\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\mathrm{ABM}\) и \(\mathrm{ACM}\). У них:

• \(\mathrm{AM}\) — общий катет;
• \(\mathrm{BM=MC}\).

Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам. Значит, их гипотенузы равны: \(\mathrm{AB=AC}\). Поэтому треугольник \(\mathrm{ABC}\) равнобедренный.

0 0 Пожаловаться