Найти модуль и аргумент z = (5 + i) / (2 + 3i).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число \(2-3i\):

\[z=\frac{5+i}{2+3i}\cdot\frac{2-3i}{2-3i}=\frac{(5+i)(2-3i)}{2^2+3^2}.\]

\[(5+i)(2-3i)=13-13i,\qquad 2^2+3^2=13.\]

Значит, \(z=1-i\).

Модуль:

\[|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.\]

Число находится в четвёртой четверти, поэтому его аргумент:

\[\arg z=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\]

Ответ: \(|z|=\sqrt{2}\), \(\arg z=-\frac{\pi}{4}+2\pi k\).

0 0 Пожаловаться