Некоторое число при делении на 5 дает остаток 1, а при делении на 3 остаток 2. Какой остаток получится от деления этого числа на 15 (с решением, пожалуйста)?

Чтобы найти остаток от деления числа $x$ на 15, разберем задачу шаг за шагом.

Условие задачи:

1. При делении числа $x$ на 5 оно дает остаток 1, т.е.: $$x \equiv 1 \pmod{5}.$$
2. При делении числа $x$ на 3 оно дает остаток 2, т.е.: $$x \equiv 2 \pmod{3}.$$

Нам нужно найти остаток $r$, такой что:

где $r$ — остаток от деления $x$ на 15.

Решение:

Число $x$ должно удовлетворять обоим условиям одновременно. Это можно решить с помощью системы сравнений:

Приведение к общему модулю

Модуль 15 получается как наименьшее общее кратное (НОК) чисел 5 и 3. Мы будем искать $x$ в виде:

где $k$ — некоторое целое число.

Подставляем это выражение во второе сравнение:

Упростим:

1. $5 \equiv 2 \pmod{3}$ (так как $5$ делится на 3 с остатком 2),
2. Подставляем $5 \equiv 2$: $$2k + 1 \equiv 2 \pmod{3}.$$
3. Вычитаем 1 из обеих сторон: $$2k \equiv 1 \pmod{3}.$$
4. Умножаем обе стороны на обратное к $2$ по модулю 3. Обратное к $2$ — это $2$ (так как $2 \times 2 \equiv 1 \pmod{3}$): $$k \equiv 2 \pmod{3}.$$

То есть $k = 3m + 2$, где $m$ — целое число. Подставляем это значение $k$ в исходное выражение $x = 5k + 1$:

Таким образом, $x \equiv 11 \pmod{15}$.

Ответ:

Остаток от деления числа $x$ на 15 равен 11.