Стрелок сделал 30 выстрелов в мишень. За первое попадание ему начислили 0,75 балла, а за каждое следующее попадание — на 0,5 балла больше, чем за предыдущее. Сколько раз промахнулся стрелок, если он набрал 99,75 балла?

Рассмотрим задачу пошагово:

1. Условия задачи

Стрелок сделал 30 выстрелов, из которых часть была попаданиями, а часть — промахами. Он набрал 99,75 балла. При этом за первое попадание он получает 0,75 балла, за второе — на 0,5 балла больше, то есть 1,25 балла, за третье — 1,75 балла и так далее, с увеличением на 0,5 балла за каждое следующее попадание.

Нужно определить, сколько раз стрелок промахнулся.

2. Формула суммы баллов за попадания

Баллы за каждое попадание образуют арифметическую прогрессию, где:

• Первый член $a_1 = 0,75$,
• Разность $d = 0,5$.

Сумма $S_n$ баллов за $n$ попаданий в арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Подставим известные значения:

Упростим выражение:

3. Решение уравнения

Всего стрелок сделал 30 выстрелов, значит количество попаданий $n$ и промахов $30 - n$. Его суммарный результат — 99,75 балла, то есть:

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

Приведем уравнение к стандартному виду:

4. Решение квадратного уравнения

Решим это уравнение по формуле:

где $a = 1$, $b = 2$, $c = -399$.

Подставим значения:

Получаем два корня:

Итак, $n = 19$.

5. Количество промахов

Если стрелок сделал $n = 19$ попаданий, то количество промахов:

6. Проверка

Посчитаем сумму баллов за 19 попаданий: