X⁴+4x³+x²-4x=-1 Найти количество корней уравнения. Подробное решение !!!!!!!!!!

Дано уравнение:

\[x^4+4x^3+x^2-4x=-1.\]

Перенесём \(-1\) в левую часть:

\[x^4+4x^3+x^2-4x+1=0.\]

Число \(x=0\) не является корнем, поэтому разделим уравнение на \(x^2\):

\[x^2+4x+1-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}=0.\]

Сгруппируем слагаемые:

\[\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+4\left(x-\frac{1}{x}\right)+1=0.\]

Пусть \(t=x-\frac{1}{x}\). Тогда

\[x^2+\frac{1}{x^2}=t^2+2.\]

Получаем:

\[t^2+2+4t+1=0,\]

\[t^2+4t+3=0,\]

\[(t+1)(t+3)=0.\]

Значит, \(t=-1\) или \(t=-3\).

1. Если \(x-\frac{1}{x}=-1\), то \(x^2+x-1=0\). Это квадратное уравнение имеет два корня, так как \(D=5>0\).

2. Если \(x-\frac{1}{x}=-3\), то \(x^2+3x-1=0\). Оно тоже имеет два корня, так как \(D=13>0\).

Полученные корни не совпадают, поэтому всего уравнение имеет 4 корня.

0 0 Пожаловаться