Ряд увеличивающихся или уменьшающихся чисел, в котором их изменение сохраняет постоянную величину?

Ряд чисел, в котором их изменение сохраняет постоянную величину, называется арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается из предыдущего добавлением некоторого фиксированного числа. Это фиксированное число называется разностью прогрессии и обозначается как $d$.

Пример:

1, 3, 5, 7, 9 — здесь разность между любыми двумя последовательными членами равна $2$.
Формально:
$a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = d = 2$.

Основные свойства арифметической прогрессии:

1. Определение: Если последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$ является арифметической прогрессией, то:

   $$a_{n+1} = a_n + d,$$

   где $a_n$ — текущий член прогрессии, $a_{n+1}$ — следующий член, а $d$ — разность прогрессии.

2. Общее выражение для n-го члена прогрессии: Чтобы найти любой член арифметической прогрессии, используется формула:

   $$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d,$$

   где:

   • $a_1$ — первый член прогрессии,
   • $n$ — порядковый номер элемента,
   • $d$ — разность прогрессии.

3. Сумма n членов арифметической прогрессии: Сумму первых $n$ членов можно найти по формуле:

   $$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n),$$

   или, если $a_n$ неизвестно:

   $$S_n = \frac{n}{2} \cdot \left[2a_1 + (n-1) \cdot d \right].$$

Важные примеры арифметической прогрессии:

1. Увеличивающаяся прогрессия — разность $d > 0$:
   $2, 5, 8, 11, \dots$ (разность $d = 3$).

2. Уменьшающаяся прогрессия — разность $d < 0$:
   $10, 7, 4, 1, \dots$ (разность $d = -3$).

3. Постоянная последовательность — разность $d = 0$:
   $4, 4, 4, 4, \dots$ (все члены одинаковы).

Таким образом, арифметическая прогрессия — это ряд чисел с постоянной разностью между соседними элементами. Это один из базовых математических понятий, широко используемый в алгебре и решении задач на последовательности.