После строительства дома осталось некоторое количество плиток.Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток,то для квадратной площадки, плиток не хватит. При укладывании по 7 плиток в ряд останется 1 неполный ряд.При укладывании по 8 ,тоже останется неполный ряд в котором на 5 плиток меньше чем в неполном ряду при укладывании по 7. Сколько всего плиток осталось?

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом, чтобы понять, сколько плиток осталось после строительства.

Обозначим количество оставшихся плиток как $x$.

1. Первое условие: Если укладывать плитки в ряд по 10, то плиток не хватит для полного квадратного основания. Это значит, что $x$ не делится на 10, или можно записать это как:

   $$x \mod 10 \neq 0$$

2. Второе условие: При укладывании по 7 плиток в ряд останется 1 неполный ряд. Это означает, что количество плиток при делении на 7 дает остаток 1:

   $$x \mod 7 = 1$$

3. Третье условие: При укладывании по 8 плиток также останется неполный ряд, в котором на 5 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 7. Это можно записать следующим образом:

   • Остаток при делении $x$ на 8 равен:
   $$x \mod 8 = r_8$$
   • Остаток при делении $x$ на 7 равен:
   $$x \mod 7 = r_7 = 1$$
   • Таким образом, по условию задачи, $r_8 = r_7 - 5 = 1 - 5 = -4$. Однако, остаток не может быть отрицательным, поэтому мы должны рассмотреть остаток при делении $r_8 = 8 - 5 = 3$:
   $$x \mod 8 = 3$$

Теперь у нас есть три условия:

1. $x \mod 10 \neq 0$
2. $x \mod 7 = 1$
3. $x \mod 8 = 3$

Теперь решим систему этих условий.

Решение:

Начнем с условия $x \mod 7 = 1$. Это означает, что $x$ может быть представлено как:

где $k$ — целое число.

Подставим это значение в третье условие $x \mod 8 = 3$:

Это можно записать как:

Сократим уравнение:

Здесь, так как $7 \equiv -1 \mod 8$, получаем:

Следовательно, $k$ может быть представлен как:

где $m$ — целое число. Подставим $k$ обратно в выражение для $x$:

Теперь подставим это выражение в первое условие $x \mod 10 \neq 0$:

Вычисляем остаток:

Следовательно:

Для того чтобы это условие выполнялось, $6m + 3$ должно быть не равно 0 при делении на 10.

Рассмотрим разные значения $m$:

• Если $m = 0$, то $6 \cdot 0 + 3 = 3$ (выполняется).
• Если $m = 1$, то $6 \cdot 1 + 3 = 9$ (выполняется).
• Если $m = 2$, то $6 \cdot 2 + 3 = 15 \equiv 5 \mod 10$ (выполняется).
• Если $m = 3$, то $6 \cdot 3 + 3 = 21 \equiv 1 \mod 10$ (выполняется).
• Если $m = 4$, то $6 \cdot 4 + 3 = 27 \equiv 7 \mod 10$ (выполняется).
• Если $m=5$