Коля может вскопать грядку за 45 минут, а папа - за 36 минут. Известно, что если они работают вместе, то производительность их труда повышается на 1/9. За сколько минут совместной работы они вскопают грядку?

Для решения задачи нужно учесть, что Коля и папа работают с разной скоростью, и также учесть увеличение общей производительности при их совместной работе.

1. Определим производительность каждого:

• Коля может вскопать грядку за 45 минут, значит, его производительность равна:

  $$\frac{1}{45} \, \text{грядки в минуту}.$$

• Папа может вскопать грядку за 36 минут, значит, его производительность равна:

  $$\frac{1}{36} \, \text{грядки в минуту}.$$

2. Найдём их совместную производительность:

Если бы не было увеличения эффективности, их совместная производительность была бы суммой индивидуальных:

Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 45 и 36 — это 180. Тогда:

Сложим дроби:

Таким образом, их совместная производительность без повышения эффективности равна:

3. Учтём повышение производительности:

При совместной работе их производительность увеличивается на $\frac{1}{9}$ от базовой производительности. Вычислим эту добавку:

Теперь общая производительность становится:

Приведём к общему знаменателю (общий знаменатель — 180):