Кондитер испек 35 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он полил глазурью и 20 рогаликов посыпал сахарной пудрой. некоторые рогалики могут быть одновременно и с глазурью, и с сахарной пудрой. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра. 2) Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры. 3) Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14. 4) Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 15.




Выберите правильный вариант ответа.

Для решения этой задачи удобно воспользоваться методом множеств и формулой включения-исключения.

Пусть:

• $A$ — множество рогаликов с глазурью, тогда $|A| = 10$.
• $B$ — множество рогаликов с сахарной пудрой, тогда $|B| = 20$.
• $n$ — общее количество рогаликов, $n = 35$.
• $|A \cap B|$ — количество рогаликов, которые покрыты и глазурью, и сахарной пудрой.

Шаг 1. Найдем количество рогаликов с глазурью или сахарной пудрой

По формуле включения-исключения имеем:

Мы знаем, что $|A \cup B|$ — это общее количество рогаликов, которые покрыты хотя бы чем-то (глазурью, сахарной пудрой или обоими покрытиями).

Так как общее количество рогаликов — 35, то количество рогаликов, которые не покрыты ни глазурью, ни сахарной пудрой, можно найти так:

Шаг 2. Подставим значения и проверим условия

Из условия мы знаем, что $n = 35$, $|A| = 10$, $|B| = 20$.

Пусть $x = |A \cap B|$ — количество рогаликов, которые покрыты и глазурью, и сахарной пудрой. Тогда:

Рогаликов, которые не покрыты ничем, будет:

Теперь проверим каждое утверждение:

1. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.

   Если $x = 12$, то подставим это значение в уравнения выше:

   $$|A \cup B| = 10 + 20 - 12 = 18$$

   Тогда рогаликов, которые не покрыты ничем, будет:

   $$35 - 18 = 17$$

   Это противоречит общему количеству рогаликов, значит утверждение 1 неверно.

2. Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры.

   Если $x = 5$, то подставим в уравнение:

   $$|A \cup B| =$$