В некотором городе три попарно пересекающиеся улицы. На каждом перекрестке установлен светофор. сколько всего светофоров в городе? Было решено проложить

новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через имеющиеся перекрестки. сколько придется установить светофоров? А если прокладка улиц будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городе с десятью улицами?

Для начала разберемся с тем, сколько светофоров установлено в городе с тремя пересекающимися улицами.

1. Какое количество светофоров на трех пересекающихся улицах?

Когда три улицы пересекаются, они образуют несколько перекрестков. Давайте представим, что все улицы пересекаются попарно. Если мы находим количество перекрестков, то это будет число, равное количеству пар улиц. Для трех улиц существует три такие пары:

• Первая улица пересекается со второй.
• Первая улица пересекается с третьей.
• Вторая улица пересекается с третьей.

Итак, на каждом из этих перекрестков устанавливается один светофор. Таким образом, всего будет три светофора, один на каждом из этих трех перекрестков.

2. Что произойдет, если проложить новую улицу?

Теперь, если мы проложим четвертую улицу, которая пересекает все старые три улицы, но не проходит через существующие перекрестки (то есть она не пересекается с другими улицами в точках, где уже есть светофоры), то новая улица создаст дополнительные перекрестки. Каждая из новых пересечений новой улицы с одной из старых улиц — это новый перекресток и, соответственно, новый светофор.

Новая улица будет пересекаться с каждой из трех старых улиц, и на каждом таком перекрестке придется установить светофор. Таким образом, для новой улицы нужно установить три новых светофора.

Итак, в результате установки новой улицы с тремя перекрестками, количество светофоров увеличится на 3 и станет равно 6 (3 светофора на старых перекрестках + 3 светофора на новых).

3. Сколько светофоров будет в городе, если улиц десять?

Теперь давайте представим, что количество улиц увеличится до десяти. Пусть все новые улицы будут также пересекаться с каждой из уже существующих, но не проходят через уже существующие перекрестки.

Для каждой новой улицы, которая пересекается со всеми предыдущими, будет установлено столько светофоров, сколько старых улиц существует на момент прокладки новой. Таким образом, для 10 улиц получится следующее:

• У нас 10 улиц, которые пересекаются попарно. Количество перекрестков (и, соответственно, количество светофоров) можно посчитать по формуле для сочетаний: $C(n, 2)$, где $n$ — количество улиц. Для 10 улиц это будет:

Таким образом, если в городе будет 10 улиц, то будет установлено 45 светофоров.

Резюме:

• В городе с 3 улицами будет 3 светофора.
• При добавлении новой улицы количество светофоров увеличится на 3, до 6.
• В городе с 10 улицами будет 45 светофоров.