Есть 90 человек. Каждый из этих 90 человек относится к одной из двух категорий. Одни на все вопросы говорят правду, другие - всегда врут.
У каждого ровно 1 любимое блюдо из списка (макароны/пельмени/вареники).
Каждому задают три вопроса.
Ваше любимое блюдо - макароны?
Ваше любимое блюдо - пельмени?
Ваше любимое блюдо - вареники?
Результаты получились такие: На первый вопрос утвердительно ответило
45
второй - 35
третий - 30
Сколько человек всегда говорят правду?

Задача состоит в том, чтобы найти, сколько человек всегда говорят правду, если среди 90 человек есть как те, кто говорит правду (называем их честными), так и те, кто всегда врут (называем их лжецами). Каждый из них имеет одно из любимых блюд (макароны, пельмени, вареники), и им задают три вопроса:

1. Ваше любимое блюдо — макароны?
2. Ваше любимое блюдо — пельмени?
3. Ваше любимое блюдо — вареники?

Ответы на эти вопросы следующие:

• На первый вопрос (макароны) утвердительно ответили 45 человек.
• На второй вопрос (пельмени) утвердительно ответили 35 человек.
• На третий вопрос (вареники) утвердительно ответили 30 человек.

Решение задачи:

Пусть:

• $x$ — количество честных людей.
• $y$ — количество лжецов.
• $x + y = 90$, так как всего 90 человек.

Честные люди отвечают на все вопросы правдиво, а лжецы — всегда лгут. То есть, если человек честен, то он ответит "да" на тот вопрос, который соответствует его любимому блюду. Лжец же ответит "да" на все вопросы, которые не соответствуют его любимому блюду, поскольку лжец всегда лжет.

Разбор по категориям:

• Макароны (вопрос 1): 45 человек ответили "да". Сюда входят как честные люди, у которых любимое блюдо макароны, так и лжецы, у которых не макароны, но они лгут и отвечают "да". Таким образом, из 45 ответивших "да" на первый вопрос, честные люди — это те, у кого действительно макароны, а лжецы — это те, у кого не макароны.

• Пельмени (вопрос 2): 35 человек ответили "да". Сюда входят честные люди, у которых любимое блюдо пельмени, и лжецы, у которых не пельмени.

• Вареники (вопрос 3): 30 человек ответили "да". Сюда входят честные люди, у которых любимое блюдо вареники, и лжецы, у которых не вареники.

Формулы:

Предположим, что:

• $a$ — количество честных людей, у которых любимое блюдо макароны.
• $b$ — количество честных людей, у которых любимое блюдо пельмени.
• $c$ — количество честных людей, у которых любимое блюдо вареники.
• Тогда $a + b + c = x$, где $x$ — количество честных людей.

Поскольку каждый человек имеет только одно любимое блюдо, можно выразить количество людей, которые ответили "да" на каждый вопрос, с учётом того, что лжецы всегда лгут:

• Ответившие "да" на первый вопрос (макароны): $a + (y - c)$, где $a$ — честные, у которых макароны, и $y - c$ — лжецы, у которых не макароны (пельмени или вареники, но они лгут).
• Ответившие "да" на второй вопрос (пельмени): $b + (y - a)$.
• Ответившие "да" на третий вопрос (вареники): $c + (y - b)$.

Система уравнений:

Из данных условий у нас есть три уравнения:

1. $a + (y - c) = 45$ (на вопрос про макароны)
2. $b + (y - a) = 35$ (на вопрос про пельмени)
3. $c + (y - b) = 30$ (на вопрос про вареники)

Также имеем:

• $x + y = 90$, то есть количество честных и лжецов вместе — 90 человек.

Для решения этой системы можно начать с того, что выражаем $y$ через $x$:

• $y = 90 - x$.

Теперь подставляем это в уравнения и решаем систему.