В прямоугольном треугольнике ABC (угол C=90) проведена высота CD так,что длина отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, AD=9. Найдите стороны треугольника ABC. В каком отношении CD делит площадь треугольника ABC?

Для решения задачи, начнём с анализа данных и применим свойства прямоугольного треугольника.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Проведена высота CD, и даны следующие данные:

• BD на 4 см больше, чем CD.
• AD = 9 см.

Нужно найти стороны треугольника и в каком отношении высота CD делит его площадь.

Шаг 1: Обозначения

Обозначим длины сторон треугольника как:

• $AB = c$ (гипотенуза),
• $BC = a$ (катет),
• $AC = b$ (катет).

Пусть длина отрезка $CD = h$. Тогда по условию задачи, длина отрезка $BD = h + 4$.

Сумма отрезков $BD$ и $AD$ должна быть равна длине гипотенузы $AB$:

Шаг 2: Использование свойств высоты

Мы знаем, что высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два меньших треугольника, каждый из которых является подобным исходному. Таким образом, из подобия треугольников ABC, ACD и BCD можем записать несколько соотношений.

Во-первых, так как треугольники ABC и ACD подобны, то:

Точно так же, из подобия треугольников ABC и BCD, получаем:

Шаг 3: Использование теоремы Пифагора

Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора:

Шаг 4: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $b^2 = 9c$,
2. $a^2 = c(h + 4)$,
3. $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим $b^2 = 9c$ в третье уравнение:

Теперь подставим выражение для $a^2 = c(h + 4)$ в это уравнение:

Упростим:

Если $c \neq 0$, то делим обе части на $c$:

Таким образом, $c = h + 13$.

Шаг 5: Находим значение $h$

Теперь, используя $c = h + 13$, подставим это в уравнение для $b^2$:

Также, подставим это в уравнение для $a^2$:

Теперь используем теорему Пифагора:

Подставим выражения для $a^2$, $b^2$ и $c^2$:

Упростим: