Квадратный четырёхместный стол можно расположить в помещении двумя способами: способ А – стороны стола параллельны стенам помещения, способ Б – стороны стола располагаются под углом 45° к стенам помещения. Какой из двух способов более компактный? Отметьте один верный вариант ответа:
А
Б
Одинаково
Обоснуйте свой выбор математически.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно проанализировать, как меняется площадь, занимаемая столом в обоих случаях. Рассмотрим оба варианта:

Способ А: Стороны стола параллельны стенам помещения

Когда стороны стола параллельны стенам, стол занимает площадь, равную произведению его сторон. Для квадрата, если сторона стола равна $a$, то его площадь будет:

Площадь стола, занимаемая в помещении, будет соответствовать этой величине.

Способ Б: Стороны стола под углом 45° к стенам помещения

Когда стороны стола расположены под углом 45°, то стол фактически повернут в пространстве, и его "выводимая" площадь для помещения изменяется.

Чтобы понять, как это влияет на занимаемое пространство, рассмотрим, что теперь стороны квадрата наклонены, и его диагональ становится "новой шириной" стола в помещении. Для квадрата, где длина стороны $a$, диагональ будет равна:

Таким образом, когда стороны стола под углом 45° к стенам, стол будет занимать пространство, равное площади квадрата, вписанного в окружность, радиус которой равен половине диагонали стола. То есть, площадь, занимаемая столом в помещении, будет равна:

Сравнение

• В способе А площадь, занимаемая столом, равна $a^2$.
• В способе Б площадь, занимаемая столом, равна $2a^2$.

Таким образом, способ А более компактный, потому что стол занимает меньшую площадь в помещении.