В магазине продаётся апельсиновый, виноградный, персиковый и яблочный сок. Нужно купить семь пакетов сока. Сколько различных наборов можно составить?

Для ответа на ваш вопрос воспользуемся комбинаторикой, а точнее, формулой сочетаний с повторениями. Сочетания с повторениями используются, когда мы выбираем k объектов из n типов, и каждый объект можно выбирать более одного раза.

В данном случае у нас есть 4 типа сока (апельсиновый, виноградный, персиковый, яблочный), и нам нужно выбрать 7 пакетов. Обозначим количество типов сока как n и количество пакетов как k. Тогда n=4, k=7. Формула сочетаний с повторениями выглядит следующим образом:

$C(n + k - 1, k)$

где $C$ обозначает число сочетаний, а формула $C(n, k)$ определяется как:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$

где $n!$ обозначает факториал числа $n$, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Подставляя наши значения n и k в формулу, получаем:

$C(4 + 7 - 1, 7) = C(10, 7)$

Теперь вычислим значение $C(10, 7)$:

$C(10, 7) = \frac{10!}{7!(10 - 7)!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!}$

Вычислим это значение.

Итак, количество различных наборов из семи пакетов сока, которые можно составить из четырёх предложенных видов, равно 120. Это означает, что существует 120 различных комбинаций при покупке семи пакетов сока из апельсинового, виноградного, персикового и яблочного. ​​