Найдите последнюю цифру числа 13 в 13-ой степени. Попрошу с объяснением.

Чтобы найти последнюю цифру числа $13^{13}$, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Понимание задачи: Нам нужно найти последнюю цифру числа $13^{13}$. Последняя цифра числа — это остаток от деления этого числа на 10, то есть мы ищем $13^{13} \mod 10$.

2. Цикличность последних цифр степеней числа 13: Важно заметить, что для степеней одного и того же числа последняя цифра образует цикл, то есть она повторяется через несколько степеней. Давайте рассмотрим несколько первых степеней числа 13 и запишем их последние цифры.

   • $13^1 = 13$ (последняя цифра — 3)

   • $13^2 = 169$ (последняя цифра — 9)

   • $13^3 = 2197$ (последняя цифра — 7)

   • $13^4 = 28561$ (последняя цифра — 1)

   Мы видим, что последние цифры повторяются через 4 степени: 3, 9, 7, 1. Это означает, что последовательность последних цифр для степеней числа 13 циклична с периодом 4.

3. Как найти последнюю цифру для $13^{13}$: Так как цикл длится 4 шага, мы можем использовать остаток от деления 13 на 4, чтобы определить, на какой из цифр в цикле мы остановимся:

   $13 \div 4 = 3$ с остатком 1.

   Это означает, что последняя цифра $13^{13}$ будет совпадать с последней цифрой $13^1$, а последняя цифра $13^1$ — это 3.

4. Ответ: Последняя цифра числа $13^{13}$ — это 3.

Таким образом, для любого числа $13^n$, где $n$ — это целое число, последняя цифра будет повторяться по циклу: 3, 9, 7, 1, и для $n = 13$ мы получаем цифру 3.