Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: а) 0,(7) б) 7,5(4) в) 1,0(12)

Рассмотрим каждый пункт по отдельности и подробно разберём, как преобразовать периодическую дробь в обыкновенную:

а) $0,(7)$
Это бесконечная периодическая дробь, где цифра 7 повторяется бесконечно:
$0,7777\ldots$

Обозначим эту дробь как $x$:
$x = 0,7777\ldots$

Умножим обе части на 10 (так как период одна цифра):
$10x = 7,7777\ldots$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

Ответ: $\frac{7}{9}$

б) $7,5(4)$
Это смешанная периодическая дробь:
$7,54444\ldots$

Пусть $x = 7,54444\ldots$

Отделим целую часть:
Целая часть — 7. Работаем с дробной частью: $0,54444\ldots$

Пусть $y = 0,54444\ldots$

Разделим её на две части:

• непериодическая часть — 5 (одна цифра),

• периодическая часть — 4 (одна цифра).

Для $y = 0,54444\ldots$, сначала умножим на 10 (чтобы после запятой осталась только периодическая часть):
$10y = 5,4444\ldots$

Теперь умножим на 10 ещё раз, чтобы цикл полностью повторился (итого на 100):
$100y = 54,4444\ldots$

Теперь вычтем:

Теперь добавим целую часть:

Ответ: $\frac{679}{90}$

в) $1,0(12)$
Это дробь:
$1,0121212\ldots$

Пусть $x = 1,0121212\ldots$

Отделим целую часть: 1. Работаем с дробной частью: $0,0121212\ldots$

Пусть $y = 0,0121212\ldots$

В этой дроби:

• непериодическая часть — 0 (одна цифра),

• периодическая часть — 12 (две цифры).

Сначала умножим $y$ на 10 (чтобы избавиться от непериодической части):
$10y = 0,121212\ldots$

Теперь умножим на 100 (чтобы захватить один полный период):
$1000y = 121,212121\ldots$

Вычтем:

Теперь добавим целую часть:

Ответ: $\frac{1111}{990}$

Итоговые ответы:

а) $\frac{7}{9}$
б) $\frac{679}{90}$
в) $\frac{1111}{990}$