(х-1)(3-х)(х-2)^2>0 алгебра 11 класс

Для решения неравенства $(x - 1)(3 - x)(x - 2)^2 > 0$ начнем с анализа каждого множителя.

1. Определим, когда каждый множитель равен нулю.

   • $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$,

   • $3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$,

   • $(x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Таким образом, нули функции — это $x = 1$, $x = 2$ и $x = 3$.

2. Рассмотрим знаки каждого множителя на промежутках, определенных этими точками.
   Мы будем делить числовую ось на интервалы, используя точки $x = 1$, $x = 2$ и $x = 3$, и исследуем знак выражения $(x - 1)(3 - x)(x - 2)^2$ на каждом из этих интервалов.

Интервалы: $(-∞, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 3)$, $(3, +∞)$.

• Для интервала $(-∞, 1)$: Возьмем значение $x = 0$.

  • $x - 1 = -1$,

  • $3 - x = 3$,

  • $(x - 2)^2 = 4$.

  Следовательно, знак выражения: $(-1)(3)(4) = -12$, что отрицательно.

• Для интервала $(1, 2)$: Возьмем значение $x = 1.5$.

  • $x - 1 = 0.5$,

  • $3 - x = 1.5$,

  • $(x - 2)^2 = 0.25$.

  Следовательно, знак выражения: $(0.5)(1.5)(0.25) = 0.1875$, что положительно.

• Для интервала $(2, 3)$: Возьмем значение $x = 2.5$.

  • $x - 1 = 1.5$,

  • $3 - x = 0.5$,

  • $(x - 2)^2 = 0.25$.

  Следовательно, знак выражения: $(1.5)(0.5)(0.25) = 0.1875$, что положительно.

• Для интервала $(3, +∞)$: Возьмем значение $x = 4$.

  • $x - 1 = 3$,

  • $3 - x = -1$,

  • $(x - 2)^2 = 4$.

  Следовательно, знак выражения: $(3)(-1)(4) = -12$, что отрицательно.

3. Итак, знаки на интервалах:

   • На интервале $(-∞, 1)$ знак отрицательный,

   • На интервале $(1, 2)$ знак положительный,

   • На интервале $(2, 3)$ знак положительный,

   • На интервале $(3, +∞)$ знак отрицательный.

4. Исследуем нули функции.

   • В точках $x = 1$, $x = 2$ и $x = 3$ выражение равно 0, так как один из множителей равен нулю.

5. Ответ.
   Необходимо найти промежутки, где выражение больше нуля. Из анализа знаков мы видим, что выражение положительно на интервалах $(1, 2)$ и $(2, 3)$.

Таким образом, решение неравенства $(x - 1)(3 - x)(x - 2)^2 > 0$ — это интервал $(1, 3)$.