Векторная алгебра. Раскрыть скобки и упростить выражение: i(j-k)+j(i-j+k)+k(i+j-k)

Давайте подробно разберём, как упростить данное выражение векторной алгебры:

$i(j - k) + j(i - j + k) + k(i + j - k)$

Шаг 1: Раскроем скобки

Начнём с того, что раскроем скобки в каждом из трёх слагаемых:

1. $i(j - k)$ раскрывается как: $i \cdot j - i \cdot k$ (так как скалярное произведение векторов в алгебре по определению коммутативно и ассоциативно)

2. $j(i - j + k)$ раскрывается как: $j \cdot i - j \cdot j + j \cdot k$

3. $k(i + j - k)$ раскрывается как: $k \cdot i + k \cdot j - k \cdot k$

Шаг 2: Подставим все раскрытые выражения

Теперь подставим всё это в исходное выражение:

Шаг 3: Упростим, используя свойства векторов

1. Заметим, что скалярное произведение векторов коммутативно, то есть $i \cdot j = j \cdot i$, $i \cdot k = k \cdot i$ и так далее. Поэтому мы можем переписать всё с учётом этих симметрий:

2. Теперь собираем одинаковые члены:
   • $i \cdot j + j \cdot i = 2 \cdot i \cdot j$
   • $-i \cdot k + k \cdot i = 0$ (так как $i \cdot k = k \cdot i$)
   • $-j \cdot j$ (это скалярное произведение вектора с самим собой, то есть $-|j|^2$)
   • $j \cdot k + k \cdot j = 2 \cdot j \cdot k$
   • $-k \cdot k = -|k|^2$

Шаг 4: Итоговое выражение

Подставим всё это в итоговое выражение:

Таким образом, упрощённое выражение:

Это и будет окончательным результатом.