Решите уравнение \(x^2 - 2x - 8 = 0\) несколькими способами.

Решение уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ можно провести несколькими способами. Рассмотрим два основных метода: метод выделения полного квадрата и метод использования формулы для решения квадратных уравнений.

1. Метод выделения полного квадрата

Для начала решим уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$ методом выделения полного квадрата.

1. Переносим постоянное число $-8$ на правую сторону уравнения:

   $$x^2 - 2x = 8$$

2. Теперь необходимо дополнить левую часть до полного квадрата. Для этого берем коэффициент при $x$ (это $-2$), делим его пополам и возводим в квадрат:

   $$\left(\frac{-2}{2}\right)^2 = (-1)^2 = 1$$

3. Добавляем 1 к обеим частям уравнения:

   $$x^2 - 2x + 1 = 8 + 1$$

   Получаем:

   $$(x - 1)^2 = 9$$

4. Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

   $$x - 1 = \pm 3$$

5. Разрешаем два случая:

   • $x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4$

   • $x - 1 = -3 \Rightarrow x = -2$

Таким образом, решения уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ — это $x = 4$ и $x = -2$.

2. Метод через формулу для квадратных уравнений

Для решения уравнения квадратного типа $ax^2 + bx + c = 0$ можно использовать формулу:

Для уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ значения коэффициентов следующие:

• $a = 1$,

• $b = -2$,

• $c = -8$.

Подставляем их в формулу:

Упростим выражение:

Теперь решаем для двух случаев:

• $x = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$,

• $x = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Таким образом, решения уравнения также $x = 4$ и $x = -2$.

3. Метод разложения на множители

Попробуем разложить исходное уравнение на множители.

1. Уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$ имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -2$, $c = -8$. Мы ищем такие два числа, которые в сумме дадут $-2$, а в произведении $-8$.

2. Эти числа — $-4$ и $2$, потому что:

   • $-4 + 2 = -2$,

   • $-4 \times 2 = -8$.

3. Разлагаем квадратное выражение на множители: