1. Определите массу Сатурна (в массах Земли) путем сравнения системы Сатурн—Титан с системой Земля—Луна, если известно, что спутник Сатурна Титан отстоит от него на расстоянии r = 1220 тыс. км и обращается с периодом Т — 16 суток. Для получения данных о Луне воспользуйтесь справочником.
2.Определите массу карликовой планеты Плутон (в массах Земли) путем сравнения системы Плутон—Харон с системой Земля—Луна, если известно, что Харон отстоит от Плутона на расстоянии r — 19,7 тыс. км и обращается с периодом T = 6,4 суток. Массы Луны, Харона и Титана считайте пренебрежимо малыми по сравнению с массами планет.

Для решения задачи воспользуемся законом всемирного тяготения и третьим законом Кеплера. Выведем массу Сатурна и Плутона, сравнив их системы со сферически симметричной системой Земля—Луна.

Часть 1: Определение массы Сатурна

Используем закон Кеплера в форме:

где $r$ — расстояние между телами, $T$ — период обращения спутника, $M$ — масса центрального тела.

Для системы Земля—Луна эта величина будет:

Для системы Сатурн—Титан аналогично:

Делим уравнения друг на друга:

Подставим известные значения:

• Расстояние Земля—Луна: $r_{\text{Земля—Луна}} = 384 \cdot 10^3$ км,
• Период Луны: $T_{\text{Земля—Луна}} = 27,3$ суток,
• Расстояние Сатурн—Титан: $r_{\text{Сатурн—Титан}} = 1220 \cdot 10^3$ км,
• Период Титана: $T_{\text{Сатурн—Титан}} = 16$ суток.

Вычислим:

Сначала вычислим кубы расстояний и квадраты периодов:

Подставляем:

Сокращаем:

Масса Сатурна: $M_{\text{Сатурн}} \approx 93 \cdot M_{\text{Земля}}$.

Часть 2: Определение массы Плутона

Аналогично решаем для системы Плутон—Харон: