Мальчик столкнул санки с вершины горки. Сразу после толчка санки имели скорость 5 м/с, а у подножия горки она равнялась 15 м/с. Трение санок о снег пренебрежимо мало. Какова высота горки?

Для решения задачи нужно использовать закон сохранения механической энергии, так как трение незначительно, и вся потенциальная энергия преобразуется в кинетическую.

Пусть высота горки — $h$.

1. Начальная энергия (на вершине горки):
   На вершине горки санки имеют только потенциальную энергию, так как скорость в момент толчка равна 5 м/с. Потенциальная энергия $E_p$ на высоте $h$ определяется формулой:

   $$E_p = mgh$$

   где:

   • $m$ — масса санок,

   • $g$ — ускорение свободного падения (9,8 м/с²),

   • $h$ — высота горки.

   Кроме того, на вершине санки имеют кинетическую энергию $E_k$, которая определяется формулой:

   $$E_k = \frac{1}{2}mv_1^2$$

   где:

   • $v_1 = 5$ м/с — начальная скорость санок.

   Тогда полная начальная энергия $E_{\text{нач}}$ равна сумме потенциальной и кинетической энергии:

   $$E_{\text{нач}} = mgh + \frac{1}{2}mv_1^2$$

2. Конечная энергия (у подножия горки):
   У подножия горки санки имеют только кинетическую энергию, так как высота равна нулю и потенциальной энергии нет. Кинетическая энергия на подножии равна:

   $$E_k = \frac{1}{2}mv_2^2$$

   где:

   • $v_2 = 15$ м/с — конечная скорость санок.

   Полная энергия на подножии горки $E_{\text{конеч}}$ равна:

   $$E_{\text{конеч}} = \frac{1}{2}mv_2^2$$

3. Закон сохранения энергии:
   Суммарная энергия на вершине горки должна быть равна суммарной энергии на подножии, так как внешних сил (кроме силы тяжести) не учитываем:

   $$E_{\text{нач}} = E_{\text{конеч}}$$

   Подставим выражения для энергии:

   $$mgh + \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2$$

   Массу $m$ можно сократить, так как она есть в каждой части уравнения:

   $$gh + \frac{1}{2}v_1^2 = \frac{1}{2}v_2^2$$

   Подставим значения скорости:

   $$9,8h + \frac{1}{2}(5^2) = \frac{1}{2}(15^2)$$ $$9,8h + \frac{1}{2}(25) = \frac{1}{2}(225)$$

   Упростим:

   $$9,8h + 12,5 = 112,5$$

   Из этого уравнения найдем высоту $h$:

   $$9,8h = 112,5 - 12,5$$ $$9,8h = 100$$ $$h = \frac{100}{9,8} \approx 10,2 \, \text{м}$$

Ответ: высота горки составляет примерно 10,2 метра.