Металлическому шару сообщили отрицательный заряд. Как при этом изменится его масса? Ответ поясните.

Коротко: масса увеличится (хоть и ничтожно мало).

Почему. Сообщая шару отрицательный заряд $Q<0$, мы добавляем на него лишние электроны. Их число

поэтому одна прибавка массы — это их суммарная масса

Кроме того, при зарядке растёт энергия электрического поля вокруг шара

а энергия даёт вклад в массу по $E=mc^2$:

Итого

(второй член одинаков для знаков заряда, первый — потому что именно при «минусе» мы добавляем электроны).

Оценка. Если, скажем, $Q=1\,\mu\text{Кл}$, то

Для шара $R=10$ см: $C\approx1{.}11\times10^{-11}$ Ф, тогда

Суммарно $\Delta m\sim 6\times10^{-18}$ кг — увеличение есть, но оно практически неуловимо.