Чему равен момент инерции цилиндра с диаметром основания d и высотой H относительно оси, совпадающей с его образующей? Плотность материала цилиндра p.

Момент инерции цилиндра можно рассчитать, исходя из его геометрических параметров и плотности материала. В данном случае мы рассматриваем цилиндр с диаметром основания $d$ и высотой $H$, и ось инерции совпадает с образующей цилиндра.

1. Определение основных параметров:

   • Диаметр основания цилиндра: $d$
   • Радиус основания: $r = \frac{d}{2}$
   • Высота цилиндра: $H$
   • Плотность материала: $\rho$

2. Вычисление массы цилиндра: Масса цилиндра $m$ может быть найдена по формуле:

   $$m = V \cdot \rho$$

   где $V$ — объем цилиндра, который рассчитывается по формуле:

   $$V = \pi r^2 H = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 H = \frac{\pi d^2 H}{4}$$

   Подставим объем в формулу для массы:

   $$m = \frac{\pi d^2 H}{4} \cdot \rho$$

3. Момент инерции цилиндра: Для цилиндра с осью инерции, совпадающей с его образующей (вертикальной осью), момент инерции $I$ определяется по формуле:

   $$I = \frac{1}{12} m (3r^2 + H^2)$$

   Подставляя выражение для массы $m$:

   $$I = \frac{1}{12} \left(\frac{\pi d^2 H}{4} \cdot \rho\right) \left(3\left(\frac{d}{2}\right)^2 + H^2\right)$$

4. Упрощение: Раскроем скобки и упростим выражение:

   $$I = \frac{1}{12} \left(\frac{\pi d^2 H \rho}{4}\right) \left(3 \cdot \frac{d^2}{4} + H^2\right)$$ $$I = \frac{\pi d^2 H \rho}{48} \left(3d^2 + 4H^2\right)$$

Таким образом, момент инерции цилиндра относительно оси, совпадающей с его образующей, равен:

Это выражение позволяет вычислить момент инерции цилиндра с заданными параметрами.