До какой высоты следует налить жидкость в цилиндрический сосуд радиусом R, чтобы сила давления

Ответы на вопрос

Отвечает Стромов Алексей.

Рассмотрим цилиндрический сосуд радиуса $R$ , в который налита жидкость до высоты $h$ . Плотность жидкости $\rho$ , ускорение свободного падения $g$ .

1) Сила давления на дно

Дно находится на глубине $h$ от свободной поверхности, поэтому гидростатическое давление на дне одинаково по всей площади:

p_{\text{дно}}=\rho g h.

Площадь дна:

S_{\text{дно}}=\pi R^2.

Тогда сила давления на дно:

F_{\text{дно}}=p_{\text{дно}}S_{\text{дно}}=\rho g h\cdot \pi R^2.

2) Сила давления на боковую поверхность

На боковой поверхности давление зависит от глубины: на глубине $y$ (отсчитанной от поверхности вниз)

p(y)=\rho g y.

Возьмём узкую горизонтальную полоску боковой поверхности толщиной $dy$ . Её площадь:

dS = (2\pi R)\,dy,

где $2\pi R$ — длина окружности.

Сила давления на эту полоску:

dF = p(y)\,dS = \rho g y \cdot 2\pi R\,dy.

Интегрируем по глубине от $0$ до $h$ :

F_{\text{бок}}=\int_0^h \rho g y \cdot 2\pi R\,dy = \rho g \cdot 2\pi R \int_0^h y\,dy = \rho g \cdot 2\pi R \cdot \frac{h^2}{2} = \rho g \pi R h^2.

3) Условие задачи

Требуется, чтобы сила давления на дно превышала силу давления на боковую поверхность в 2 раза, то есть:

F_{\text{дно}} > 2F_{\text{бок}}.

Подставляем найденные выражения:

\rho g h \pi R^2 > 2(\rho g \pi R h^2).

Сокращаем на $\rho g \pi$ (они положительны):

hR^2 > 2Rh^2.

Если $h>0$ , сокращаем на $Rh$ :

R > 2h.

Отсюда:

h < \frac{R}{2}.

Ответ

Чтобы сила давления жидкости на дно была больше силы давления на боковую поверхность в 2 раза, жидкость нужно налить ниже высоты

\boxed{h<\frac{R}{2}}.

Граничное значение (когда ровно в 2 раза) — $\boxed{h=\frac{R}{2}}$ ; чтобы именно превышала, надо налить чуть меньше $\frac{R}{2}$ .

Ответы на вопрос

1) Сила давления на дно

2) Сила давления на боковую поверхность

3) Условие задачи

Ответ

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Физика

Последние заданные вопросы в категории Физика