Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x=A1 cos ωt и y=A2 sin ωt, где A1=2 см, A2=1 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.

Даны два взаимно перпендикулярных колебания:

где

Подставим амплитуды:

Чтобы найти уравнение траектории, нужно исключить время $t$. Из первого уравнения:

Из второго:

Используем основное тригонометрическое тождество:

Тогда

Или

Это уравнение эллипса с центром в начале координат. Его полуось вдоль оси $x$ равна $2$ см, а полуось вдоль оси $y$ равна $1$ см.

Следовательно, траектория точки — эллипс:

Крайние точки эллипса:

Теперь определим направление движения. При $t=0$:

То есть точка в начальный момент находится в правой крайней точке эллипса:

При малом положительном $t$:

немного уменьшается, значит $x$ становится меньше 2, а

становится положительным, значит $y$ увеличивается.

Следовательно, из точки $(2;0)$ точка движется вверх и влево, то есть против часовой стрелки.

Схематически траектория выглядит так:

              y
              ↑
          (0;1)
            *
        *       *
     *             *
(-2;0)             (2;0)
     *             *  ← начало движения
        *       *      затем вверх
            *
          (0;-1)

              → x

Направление движения:

Итак, точка движется по эллипсу

против часовой стрелки.