3. На графике показано, как гравитационный потенциал изменяется с расстоянием. R — радиус Земли (6400 км). На поверхности Земли гравитационный потенциал равен 625 Дж/кг. (а) Определите из графика: (i) гравитационный потенциал на расстоянии 2R от центра Земли; (ii) увеличение потенциальной энергии спутника массой 1200 кг, когда он поднимается с поверхности Земли на круговую орбиту с радиусом 3R. (b) (i) Запишите уравнение, связывающее напряжённость гравитационного поля и гравитационный потенциал. (ii) Используя график, определите напряжённость гравитационного поля на расстоянии 2R от центра Земли. (iii) Покажите, что ваш результат в части (b)(ii) согласуется с тем фактом, что силовая характеристика гравитационного поля составляет около 10 Н/кг.

Без графика невозможно дать точные числовые ответы. Ниже описан способ решения.

(a)(i) На оси расстояний найдите точку \(2R\) и по графику определите соответствующее значение потенциала \(V\).

(a)(ii) Изменение потенциальной энергии \(\Delta U = m(V_{3R} - V_R)\). Подставьте \(m = 1200\) кг и значения \(V_{3R}\) и \(V_R\), взятые с графика. Если потенциал с высотой убывает, \(\Delta U\) будет отрицательным; если потенциал отрицательный и растёт (становится менее отрицательным), \(\Delta U\) положительно.

(b)(i) Напряжённость гравитационного поля \(g\) связана с потенциалом \(V\) соотношением \(g = -\frac{dV}{dr}\) (проекция на радиальное направление).

(b)(ii) На расстоянии \(2R\) проведите касательную к графику \(V(r)\) и найдите её наклон: \(g \approx -\frac{\Delta V}{\Delta r}\). Модуль напряжённости равен модулю этого наклона.

(b)(iii) Если на поверхности Земли \(g \approx 10\) Н/кг, то с увеличением расстояния напряжённость убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. На расстоянии \(2R\) она должна быть примерно \(10/4 = 2{,}5\) Н/кг. Сравните полученное значение с этой величиной. Если ваш результат близок к \(2{,}5\) Н/кг, он согласуется с фактом. Если нет — проверьте график: возможно, на поверхности потенциал указан не в абсолютных единицах, или график схематичен.

0 0 Пожаловаться