Маленький шарик, движущийся со скоростью 7 м/с по горизонтальной поверхности, проваливается в щель шириной 2 м и глубиной 5 м. Удар шарика о вертикальные стенки щели упругий. Определить число ударов шарика о стенки щели до его падения на дно.

Сначала найдём время падения шарика до дна щели. Глубина \( h = 5 \) м, начальная вертикальная скорость равна нулю. Используем формулу:

\[ h = \frac{g t^2}{2} \]

Отсюда \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \). При \( g \approx 10 \ \text{м/с}^2 \):

\[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 5}{10}} = \sqrt{1} = 1 \ \text{с} \]

Горизонтальная скорость шарика \( v = 7 \ \text{м/с} \). Ширина щели \( d = 2 \ \text{м} \). При упругом ударе о стенку горизонтальная скорость меняет направление, но модуль остаётся прежним. Значит, между ударами шарик проходит по горизонтали расстояние \( d \). Время между двумя последовательными ударами о стенки:

\[ \tau = \frac{d}{v} = \frac{2}{7} \ \text{с} \]

Число ударов \( N \) равно количеству промежутков времени \( \tau \), укладывающихся в общее время падения \( t \), причём первый удар происходит, когда шарик впервые достигает стенки. Если шарик начинает движение от одного края щели, то первый удар произойдёт через время \( \tau/2 \) (если он стартует от середины? Уточним: в условии не сказано, откуда именно начинает шарик. Обычно в таких задачах предполагается, что шарик влетает в щель у одного края. Тогда первый удар о противоположную стенку произойдёт через время \( \tau \). Если же он начинает из середины, то первый удар будет через \( \tau/2 \). Но стандартная трактовка: шарик движется по горизонтальной поверхности и проваливается в щель; можно считать, что он пересекает край щели и сразу оказывается внутри, начиная движение от одной стенки. Тогда первый удар о противоположную стенку через \( \tau \). Тогда общее число ударов \( N \) — это наибольшее целое число, такое что \( N \cdot \tau \le t \). Если \( t / \tau \) — целое, то последний удар происходит точно в момент падения на дно, и его считаем? Обычно считают все удары до падения. Если шарик ударяется о стенку в тот же момент, когда достигает дна, то этот удар можно не считать, так как падение уже произошло. Но в условии «до его падения на дно» — значит, удары, произошедшие строго раньше момента падения. Поэтому берём целую часть от \( t / \tau \), если \( t / \tau \) не целое, и \( t / \tau - 1 \), если целое. Вычислим:

\[ \frac{t}{\tau} = \frac{1}{2/7} = \frac{7}{2} = 3.5 \]

Целая часть равна 3. Значит, произойдёт 3 удара. Проверим: время 1-го удара \( \tau = 2/7 \approx 0.286 \) с, 2-го \( 2\tau = 4/7 \approx 0.571 \) с, 3-го \( 3\tau = 6/7 \approx 0.857 \) с. После этого до падения остаётся \( 1 - 6/7 = 1/7 \approx 0.143 \) с, четвёртый удар не успевает произойти. Ответ: 3 удара.

0 0 Пожаловаться