Горизонтально расположенный деревянный стержень массой 0,8 кг и длиной 1,8 м
может вращаться вокруг перпендикулярной к нему вертикальной оси, проходящей через
его середину. В конец стержня попадает пластмассовый шарик массой 3 г, летящий
перпендикулярно к оси и к стержню со скоростью 50 м/с. Определить угловую скорость
стержня после удара, если считать, что шарик упруго отскакивает обратно от стержня
почти с той же скоростью 50 м/с

Чтобы решить задачу, воспользуемся законами сохранения момента импульса, так как в данной системе нет внешних сил, действующих на ось вращения. Нам нужно определить угловую скорость стержня после того, как пластмассовый шарик, упруго отскочив, ударился о стержень.

Дано:

• Масса стержня $m_{\text{стержня}} = 0{,}8 \ \text{кг}$
• Длина стержня $L = 1{,}8 \ \text{м}$
• Масса шарика $m_{\text{шарика}} = 0{,}003 \ \text{кг}$
• Скорость шарика до удара $v_{\text{шарика}} = 50 \ \text{м/с}$
• Скорость шарика после удара (упругий удар) приблизительно равна $v_{\text{шарика}} = -50 \ \text{м/с}$ (противоположного направления).

Решение:

1. Момент инерции стержня относительно вертикальной оси
   Поскольку ось вращения проходит через середину стержня и перпендикулярна ему, момент инерции для стержня можно найти по формуле для стержня с осью вращения в центре:

   $$I_{\text{стержня}} = \frac{1}{12} m_{\text{стержня}} L^2$$

   Подставим значения:

   $$I_{\text{стержня}} = \frac{1}{12} \cdot 0{,}8 \cdot (1{,}8)^2 = \frac{0{,}8 \cdot 3{,}24}{12} = \frac{2{,}592}{12} = 0{,}216 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2$$

2. Момент инерции системы до удара
   До удара стержень неподвижен, а шарик летит перпендикулярно к оси вращения и к стержню, создавая момент импульса относительно оси вращения. Момент импульса для шарика рассчитывается как:

   $$L_{\text{шарика}} = m_{\text{шарика}} \cdot v_{\text{шарика}} \cdot \frac{L}{2}$$

   Подставим значения:

   $$L_{\text{шарика}} = 0{,}003 \cdot 50 \cdot \frac{1{,}8}{2} = 0{,}003 \cdot 50 \cdot 0{,}9 = 0{,}135 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}$$

3. Изменение момента импульса при упругом ударе
   При упругом ударе шарик отскакивает с той же скоростью, но в противоположном направлении. Это означает, что его конечный момент импульса после удара будет:

   $$L_{\text{шарика, после удара}} = m_{\text{шарика}} \cdot (-v_{\text{шарика}}) \cdot \frac{L}{2} = -0{,}135 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}$$

   Разница в моменте импульса шарика до и после удара составляет $2 \cdot 0{,}135 = 0{,}27 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}$.

4. Применение закона сохранения момента импульса
   Поскольку начальный момент импульса стержня равен нулю, весь момент импульса, возникший в результате удара, пойдет на вращение стержня. Таким образом, момент импульса стержня после удара равен $0{,}27 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}$.

5. Вычисление угловой скорости стержня
   Момент импульса стержня после удара можно также записать как произведение его момента инерции на угловую скорость:

   $$I_{\text{стержня}} \cdot \omega = 0{,}27$$

   Отсюда угловая скорость:

   $$\omega = \frac{0{,}27}{I_{\text{стержня}}} = \frac{0{,}27}{0{,}216} \approx 1{,}25 \ \text{рад/с}$$

Ответ:

Угловая скорость стержня после удара составит примерно $\omega \approx 1{,}25 \ \text{рад/с}$.