1. Определить работу, которую
необходимо затратить, чтобы вывести ракету за пределы поля тяготения Земли,
если ракета стартует с космического корабля, движущегося по круговой орбите на
уровне 600км над поверхностью Земли. Масса ракеты 20т.

Для решения задачи необходимо определить работу, которую требуется затратить, чтобы вывести ракету массой 20 тонн (20000 кг) за пределы поля тяготения Земли. Учтем, что ракета стартует с круговой орбиты на высоте 600 км над поверхностью Земли. Рассмотрим пошаговый анализ.

1. Основные данные и формулы

Дано:

• Масса ракеты $m = 20000 \, \text{кг}$,
• Высота орбиты $h = 600 \, \text{км} = 600 \times 10^3 \, \text{м}$,
• Радиус Земли $R_z = 6371 \, \text{км} = 6371 \times 10^3 \, \text{м}$,
• Гравитационная постоянная $G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3\text{кг}^{-1}\text{с}^{-2}$,
• Масса Земли $M_z = 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}$.

Цель: определить работу $A$, чтобы вывести ракету за пределы гравитационного поля Земли.

Работа связана с изменением полной механической энергии системы:

где:

• $E_\infty = 0 \, \text{Дж}$ — энергия на бесконечности (где гравитационное поле отсутствует),
• $E_\text{орбита} = K_\text{орбита} + U_\text{орбита}$ — суммарная энергия ракеты на орбите.

2. Потенциальная энергия на орбите

Потенциальная энергия ракеты на орбите определяется формулой:

Подставляем данные:

Суммарный радиус орбиты:

Тогда:

Выполнив вычисления:

3. Кинетическая энергия на орбите

Ракета движется по круговой орбите, где центростремительная сила равна силе гравитации. Скорость на орбите определяется из условия равенства:

Сокращая $m$ и решая относительно $v_\text{орбита}$:

Подставляем значения:

После вычислений:

Кинетическая энергия на орбите: