Верхний конец стержня закреплен, а к нижнему подвешен груз весом 20 кН. Длина стержня 5 м, площадь поперечного сечения 4 м². Определите напряжение материала стержня, его абсолютное удлинение и модуль Юнга, если при такой нагрузке относительное удлинение оказалось равным 2,5·10⁻⁴.

Дано:

• Вес груза: $F = 20\text{ кН} = 20\,000\text{ Н}$

• Длина стержня: $l = 5\text{ м}$

• Площадь поперечного сечения: $S = 4\text{ м}^2$

• Относительное удлинение: $\varepsilon = 2{,}5\cdot10^{-4}$

Найти:

1. Напряжение материала стержня $\sigma$.

2. Абсолютное удлинение $\Delta l$.

3. Модуль Юнга $E$.

Решение

1. Определим механическое напряжение

Механическое напряжение — это отношение силы, действующей на стержень, к площади его поперечного сечения.

Формула:

Подставим известные значения:

Или:

Таким образом, напряжение материала стержня составляет 5000 Па.

2. Найдём абсолютное удлинение стержня

Относительное удлинение определяется по формуле:

Отсюда абсолютное удлинение:

Подставим значения:

Переведём в миллиметры:

Следовательно, под действием груза стержень удлинился на 1,25 мм.

3. Определим модуль Юнга

Модуль Юнга характеризует жёсткость материала, то есть его способность сопротивляться упругой деформации.

Согласно закону Гука, механическое напряжение прямо пропорционально относительному удлинению:

Выразим модуль Юнга:

Подставим известные значения:

Получаем:

Или:

Таким образом, модуль Юнга материала стержня равен 20 МПа.

Ответ

Вывод: При подвешивании груза весом 20 кН в стержне возникает механическое напряжение 5 кПа. Его длина увеличивается на 1,25 мм, а модуль Юнга материала составляет 20 МПа.

Расчёты выполнены в предположении, что деформация является упругой, нагрузка действует вдоль оси стержня, а собственным весом стержня можно пренебречь. Также площадь поперечного сечения принята равной именно 4 м², как указано в условии задачи.