Радиус-вектор частицы относительно неподвижной оси изменяется со временем по закону: r = a·sin(ωt) + b·cos(ωt), где a и b — постоянные векторы, причём a перпендикулярен b. Найти: 1) уравнение траектории в координатах y = f(x), взяв за направление осей направления векторов a и b; 2) скорость частицы; 3) ускорение частицы.

Пусть ось \( x \) направлена вдоль вектора \( \vec a \), а ось \( y \) — вдоль вектора \( \vec b \). Обозначим их модули: \( A = |\vec a| \), \( B = |\vec b| \).

Тогда координаты частицы:

\[ x = A\sin(\omega t), \quad y = B\cos(\omega t) \]

1) Траектория. Исключим время:

\[ \sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t) = 1 \]

\[ \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1 \]

Это эллипс. В виде \( y = f(x) \):

\[ y = \pm B\sqrt{1 - \frac{x^2}{A^2}} \]

2) Скорость.

\[ \vec v = \frac{d\vec r}{dt} = \omega \vec a\cos(\omega t) - \omega \vec b\sin(\omega t) \]

Модуль скорости:

\[ v = \omega\sqrt{A^2\cos^2(\omega t) + B^2\sin^2(\omega t)} \]

3) Ускорение.

\[ \vec a_{уск} = \frac{d\vec v}{dt} = -\omega^2\vec a\sin(\omega t) - \omega^2\vec b\cos(\omega t) \]

Так как \( \vec r = \vec a\sin(\omega t) + \vec b\cos(\omega t) \), то:

\[ \vec a_{уск} = -\omega^2\vec r \]

0 0 Пожаловаться