Велосипедист проехал 150 метров в тоннель длиной 500 метров и услышал сзади сигнал автомобиля. Этот автомобиль догнал велосипедиста у выезда из тоннеля. Если бы велосипедист, услышав сигнал, сразу развернулся и поехал назад с той же скоростью, то он встретился бы с автомобилем у въезда в туннель. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости велосипедиста?

Для решения этой задачи давайте введем несколько обозначений и разберем шаг за шагом.

Пусть:

• $v_b$ — скорость велосипедиста,
• $v_a$ — скорость автомобиля,
• $t$ — время, которое понадобилось автомобилю, чтобы догнать велосипедиста.

1. Дистанция, пройденная велосипедистом

Велосипедист проехал 150 метров в тоннеле длиной 500 метров. Если бы он продолжил ехать с постоянной скоростью, то до конца тоннеля ему осталось бы пройти $500 - 150 = 350$ метров.

2. Сигнал автомобиля

Автомобиль посигналил велосипедисту, когда тот находился на расстоянии 150 метров от входа в тоннель. Мы знаем, что если бы велосипедист сразу развернулся и поехал назад с той же скоростью, то он встретился бы с автомобилем у въезда в тоннель.

Предположим, что в момент сигнала автомобиль находится на расстоянии $x$ от входа в тоннель. Пусть $t_1$ — время, за которое автомобиль достигнет того места, где велосипедист находился, когда услышал сигнал (т.е. 150 метров). Тогда:

Затем, в этот момент, если велосипедист развернется и поедет назад, то за это время он будет двигаться в сторону въезда, и встреча с автомобилем произойдет у входа в тоннель.

3. Догоняемость

Теперь давайте посчитаем время, за которое автомобиль догонит велосипедиста, если он продолжит движение в сторону выхода. Скорость относительного движения между автомобилем и велосипедистом будет равна $v_a - v_b$.

Когда автомобиль догоняет велосипедиста, он проходит всю длину тоннеля $500$ метров, но велосипедист при этом проходит 150 метров. Следовательно:

Однако велосипедист за это время пройдет 150 метров, и они встретятся точно у выхода из тоннеля.

4. Соотношение скоростей

Из этих двух уравнений можно выразить скорости. Уравнение для догоняющей ситуации:

Преобразуем это уравнение, чтобы найти соотношение $\frac{v_a}{v_b}$:

Таким образом, скорость автомобиля в $\frac{13}{3}$ раза больше скорости велосипедиста.