Шарик скатывается с наклонной плоскости без начальной скорости. Пройдя расстояние 3м, он приобрел скорость 2 м/с. Какое расстояние должен пройти шарик, чтобы приобрести скорость 4 м/с?

Рассмотрим задачу подробно, применяя законы сохранения энергии и кинематику.

Дано:

• Начальная скорость $v_0 = 0$;
• Скорость шарика после прохождения пути 3 м: $v_1 = 2 \, \text{м/с}$;
• Найти расстояние $s_2$, при котором шарик приобретёт скорость $v_2 = 4 \, \text{м/с}$.

Подход к решению

Когда шарик скатывается без начальной скорости, его движение происходит под действием силы тяжести. Кинетическая энергия шарика растёт за счёт уменьшения потенциальной энергии. В этом случае полезно использовать связь между скоростью и пройденным расстоянием.

Энергетическое соотношение:

где:

• $m$ — масса шарика (сократится при расчётах);
• $g$ — ускорение свободного падения;
• $h$ — высота, связанная с расстоянием по наклонной $s$ через угол наклона $\theta$: $h = s \cdot \sin\theta$;
• $v$ — скорость шарика.

Так как $h = s \cdot \sin\theta$, то формулу можно переписать как:

Связь скорости и расстояния

Выразим расстояние $s$ через скорость:

Это означает, что расстояние пропорционально квадрату скорости. Следовательно, если известны скорости на двух участках, можно написать соотношение:

Подстановка данных

Для первого участка:

• $s_1 = 3 \, \text{м}$;
• $v_1 = 2 \, \text{м/с}$.

Для второго участка:

• $v_2 = 4 \, \text{м/с}$.

Используем соотношение:

Ответ:

Шарик должен пройти расстояние 12 метров, чтобы его скорость достигла $4 \, \text{м/с}$.