Диагонали квадрата АВСД со стороной, равной 1, пересекаются в точнее О.
Найдите вектор BO*вектор CA
Вектор АО на вектор АВ
Вектор АС на вектор ДС

Давайте разберем каждый пункт по порядку, начиная с диагоналей квадрата $ABCD$ и вычисления требуемых векторных произведений.

1. Найти $\mathbf{BO} \cdot \mathbf{CA}$:

Параметры квадрата:

• Длина стороны $a = 1$.
• Координаты вершин квадрата: $$A(0, 0), \, B(1, 0), \, C(1, 1), \, D(0, 1).$$
• Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ — центре квадрата: $$O\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$$

Векторы:

• $\mathbf{BO} = \left(O_x - B_x, O_y - B_y\right) = \left(\frac{1}{2} - 1, \frac{1}{2} - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$
• $\mathbf{CA} = \left(A_x - C_x, A_y - C_y\right) = \left(0 - 1, 0 - 1\right) = (-1, -1).$

Скалярное произведение:

Ответ: $\mathbf{BO} \cdot \mathbf{CA} = 0$.

2. Найти $\mathbf{AO} \cdot \mathbf{AB}$:

Векторы:

• $\mathbf{AO} = \left(O_x - A_x, O_y - A_y\right) = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$
• $\mathbf{AB} = \left(B_x - A_x, B_y - A_y\right) = \left(1 - 0, 0 - 0\right) = (1, 0).$

Скалярное произведение:

Ответ: $\mathbf{AO} \cdot \mathbf{AB} = \frac{1}{2}$.

3. Найти $\mathbf{AC} \cdot \mathbf{DC}$:

Векторы:

• $\mathbf{AC} = \left(C_x - A_x, C_y - A_y\right) = \left(1 - 0, 1 - 0\right) = (1, 1).$
• $\mathbf{DC} = \left(C_x - D_x, C_y - D_y\right) = \left(1 - 0, 1 - 1\right) = (1, 0).$