Шарик скатывается по наклонной плоскости с постоянным ускорением из состояния покоя. За вторую секунду шарик прошел 15 см. Какой путь он пройдет за пятую секунду?

Задачу можно решить, воспользовавшись формулами для равноускоренного движения, так как сказано, что шарик движется с постоянным ускорением.

Для начала напомним основные формулы для равноускоренного движения:

1. $S_n = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}$, где:
   • $S_n$ — путь, пройденный за $n$-ую секунду;
   • $v_0$ — начальная скорость (в данном случае равна 0, так как шарик начинает движение из состояния покоя);
   • $a$ — ускорение;
   • $t$ — время.

В условии говорится, что за вторую секунду шарик прошел 15 см. Для равноускоренного движения путь, пройденный за вторую секунду, можно выразить через разность путей, пройденных за 2 секунды и 1 секунду:

$S_2 = S(2) - S(1)$

Где:

• $S(2)$ — путь, пройденный за 2 секунды,
• $S(1)$ — путь, пройденный за 1 секунду.

Формула для общего пути за $n$ секунд:

$S(t) = \frac{a \cdot t^2}{2}$

Тогда:

$S(2) = \frac{a \cdot 2^2}{2} = 2a$ $S(1) = \frac{a \cdot 1^2}{2} = \frac{a}{2}$

Теперь можем выразить путь, пройденный за вторую секунду:

$S_2 = S(2) - S(1) = 2a - \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$

Из условия $S_2 = 15 \, \text{см}$, тогда:

$\frac{3a}{2} = 15$ $a = \frac{30}{3} = 10 \, \text{см/с}^2$

Теперь, зная ускорение, можем найти путь, пройденный за пятую секунду.

Путь за пятую секунду:

$S_5 = S(5) - S(4)$

Рассчитаем полный путь за 5 секунд:

$S(5) = \frac{a \cdot 5^2}{2} = \frac{10 \cdot 25}{2} = 125 \, \text{см}$

И полный путь за 4 секунды:

$S(4) = \frac{a \cdot 4^2}{2} = \frac{10 \cdot 16}{2} = 80 \, \text{см}$

Тогда путь за пятую секунду:

$S_5 = 125 - 80 = 45 \, \text{см}$

Ответ: шарик пройдет 45 см за пятую секунду.