Два электрона движутся по окружности в однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции поля. Найти отношение периодов обращения электронов, если кинетическая энергия первого электрона в 4 раза больше кинетической энергии второго.

Чтобы найти отношение периодов обращения двух электронов, движущихся в однородном магнитном поле, необходимо рассмотреть несколько физических аспектов.

1. Сила Лоренца и радиус орбиты электрона в магнитном поле:

   Когда электрон движется в магнитном поле, на него действует сила Лоренца, которая направлена перпендикулярно его скорости и магнитным линиям индукции. Эта сила заставляет электрон двигаться по окружности, и радиус его орбиты можно найти из уравнения:

   $$F_{\text{Лоренца}} = e v B = \frac{m v^2}{r}$$

   где:

   • $e$ — заряд электрона,
   • $v$ — скорость электрона,
   • $B$ — магнитная индукция,
   • $m$ — масса электрона,
   • $r$ — радиус орбиты электрона.

   Перепишем это уравнение для радиуса орбиты $r$:

   $$r = \frac{m v}{e B}$$

2. Связь кинетической энергии и скорости:

   Кинетическая энергия электрона $E_k$ связана с его массой и скоростью по формуле:

   $$E_k = \frac{1}{2} m v^2$$

   Если кинетическая энергия одного электрона в 4 раза больше кинетической энергии другого, то можно записать:

   $$E_{k1} = 4 E_{k2}$$

   Это означает, что:

   $$\frac{1}{2} m v_1^2 = 4 \times \frac{1}{2} m v_2^2$$

   Из чего следует, что:

   $$v_1^2 = 4 v_2^2 \quad \Rightarrow \quad v_1 = 2 v_2$$

3. Нахождение отношения радиусов орбит:

   Подставим найденные значения для скоростей в формулу для радиуса орбиты. Для первого электрона:

   $$r_1 = \frac{m v_1}{e B} = \frac{m \cdot 2 v_2}{e B} = 2 r_2$$

   То есть радиус орбиты первого электрона в 2 раза больше радиуса орбиты второго.

4. Период обращения электрона:

   Период обращения $T$ электрона в магнитном поле связан с его радиусом орбиты и скоростью следующим образом:

   $$T = \frac{2 \pi r}{v}$$

   Для первого электрона:

   $$T_1 = \frac{2 \pi r_1}{v_1} = \frac{2 \pi \cdot 2 r_2}{2 v_2} = \frac{2 \pi r_2}{v_2}$$

   Для второго электрона:

   $$T_2 = \frac{2 \pi r_2}{v_2}$$

   Таким образом, $T_1 = T_2$.

5. Ответ:

   Периоды обращения обоих электронов равны, то есть:

   $$\frac{T_1}{T_2} = 1$$

   Вывод: Несмотря на то, что кинетическая энергия первого электрона в 4 раза больше кинетической энергии второго, его период обращения будет таким же, как и у второго электрона, так как радиус орбиты и скорость изменяются пропорционально.