На гладком столе стоит наклонная плоскость массой 1кг и высотой 50см, с неё скатывается шарик массой 100г. Определите скорость шарика и наклонной плоскости, когда шарик коснётся стола

Чтобы решить эту задачу, будем использовать принципы механики и законы сохранения энергии.

Дано:

• Масса наклонной плоскости $m_{\text{плоск}} = 1 \, \text{кг}$
• Высота наклонной плоскости $h = 50 \, \text{см} = 0.5 \, \text{м}$
• Масса шарика $m_{\text{шар}} = 100 \, \text{г} = 0.1 \, \text{кг}$

Нужно найти скорость шарика и скорость наклонной плоскости в момент, когда шарик коснется стола.

Шаг 1. Система координат

Предположим, что наклонная плоскость находится под углом $\theta$ к горизонтали. Мы также можем рассматривать систему координат, где ось $x$ будет направлена вдоль поверхности наклонной плоскости.

Шаг 2. Использование принципа сохранения энергии

В данной задаче подходящим методом будет использование закона сохранения механической энергии.

Энергия системы (плоскость + шарик) в начале и в момент, когда шарик касается стола, сохраняется.

Начальная энергия системы:

• Потенциальная энергия шарика, которая равна $m_{\text{шар}} \cdot g \cdot h$, где $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.
• Кинетической энергии у шарика и наклонной плоскости в начале нет.

Конечная энергия системы:

• Кинетическая энергия шарика $\frac{1}{2} m_{\text{шар}} v_{\text{шар}}^2$, где $v_{\text{шар}}$ — скорость шарика.
• Кинетическая энергия наклонной плоскости $\frac{1}{2} m_{\text{плоск}} v_{\text{плоск}}^2$, где $v_{\text{плоск}}$ — скорость наклонной плоскости.
• Потенциальной энергии у шарика в момент касания стола нет, так как его высота относительно стола нулевая.

Теперь у нас есть уравнение для сохранения энергии:

Шаг 3. Взаимодействие шарика и плоскости

Когда шарик скатывается по наклонной плоскости, наклонная плоскость тоже будет двигаться, так как система шарик-плоскость — это замкнутая система. Для упрощения примем, что шарик катится без скольжения, то есть его вращение связано с его поступательным движением. Скорости шарика и наклонной плоскости связаны через угловую скорость шарика и радиус его вращения.

Так как плоскость и шарик взаимодействуют через силу трения, мы можем найти скорость каждой из частей системы, используя закон сохранения импульса в горизонтальном направлении.

Шаг 4. Решение уравнения

1. Мы знаем, что сумма кинетических энергий равна начальной потенциальной энергии, а скорости шарика и плоскости можно выразить через одну переменную. Получаем систему уравнений, которая решается для скорости шарика $v_{\text{шар}}$ и скорости наклонной плоскости $v_{\text{плоск}}$.

Решив систему, мы получаем значения для этих скоростей.