Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t1=1мин уменьшилась вдвое.Во сколько раз уменьшится амплитуда за время t2=3мин?

Для решения задачи, связанной с уменьшением амплитуды затухающих колебаний математического маятника, воспользуемся следующим подходом:

Уравнение для затухающих колебаний

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по закону экспоненциального затухания:

где:

• $A(t)$ — амплитуда колебаний в момент времени $t$,
• $A_0$ — начальная амплитуда,
• $\gamma$ — коэффициент затухания,
• $t$ — время.

Анализ условия задачи

По условию задачи, за время $t_1 = 1 \, \text{мин}$, амплитуда уменьшилась вдвое:

Подставим это в уравнение затухания:

Упростим:

Применим натуральный логарифм:

Так как $\ln{\frac{1}{2}} = -\ln{2}$, то:

Отсюда находим коэффициент затухания:

Уменьшение амплитуды за время $t_2 = 3 \, \text{мин}$

Теперь определим, во сколько раз уменьшится амплитуда за время $t_2$. Для этого используем общее уравнение:

Подставим значение $\gamma = \frac{\ln{2}}{t_1}$:

Упрощаем:

Поскольку $e^{-\ln{2}} = \frac{1}{2}$, это можно записать так:

Теперь подставим значения $t_2 = 3 \, \text{мин}$ и $t_1 = 1 \, \text{мин}$:

Упрощаем: