Заряды 40нКл и - 10 нКл расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Где надо поместить заряд, равный 40 нКл, чтобы система находилась в равновесии

Для того чтобы система находилась в равновесии, необходимо разместить третий заряд таким образом, чтобы силы, действующие на него со стороны двух других зарядов, компенсировали друг друга. Рассмотрим два заряда: один равен 40 нКл, а другой — -10 нКл. Расстояние между ними составляет 10 см.

1. Начальные условия:

   • Заряд $q_1 = 40 \, \text{нКл}$,
   • Заряд $q_2 = -10 \, \text{нКл}$,
   • Расстояние между зарядами $r = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м}$.

2. Условия равновесия: Чтобы система находилась в равновесии, нужно, чтобы сила взаимодействия третьего заряда с первым зарядом компенсировалась силой взаимодействия с вторым зарядом. Сила кулоновского взаимодействия между двумя зарядами выражается по формуле:

   $$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

   где $k$ — электрическая постоянная (приблизительно $9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{Кл}^2$), $q_1$ и $q_2$ — величины зарядов, а $r$ — расстояние между ними.

3. Решение задачи: Пусть третий заряд имеет величину $q_3 = 40 \, \text{нКл}$. Мы ищем, где его нужно поместить, чтобы система находилась в равновесии. Для этого определим, где на расстоянии между двумя зарядами расположится точка, в которой силы от зарядов $q_1$ и $q_2$ на заряд $q_3$ будут равны и противоположны по направлению.

   Обозначим расстояние от заряда $q_1$ (40 нКл) до точки равновесия как $x$, а от заряда $q_2$ (−10 нКл) — как $0.1 - x$.

   Напишем условие равенства сил. Сила на заряд $q_3$ со стороны заряда $q_1$ будет равна:

   $$F_1 = k \frac{|q_1 q_3|}{x^2}$$

   Сила со стороны заряда $q_2$ будет равна:

   $$F_2 = k \frac{|q_2 q_3|}{(0.1 - x)^2}$$

   Для равновесия эти силы должны быть равны, то есть:

   $$k \frac{|q_1 q_3|}{x^2} = k \frac{|q_2 q_3|}{(0.1 - x)^2}$$

   Сокращая $k$ и $q_3$ (так как они не равны нулю), получаем:

   $$\frac{|q_1|}{x^2} = \frac{|q_2|}{(0.1 - x)^2}$$

   Подставим значения зарядов:

   $$\frac{40}{x^2} = \frac{10}{(0.1 - x)^2}$$

4. Решение уравнения: Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на $x^2 (0.1 - x)^2$:

   $$40 (0.1 - x)^2 = 10 x^2$$

   Раскроем скобки:

   $$40 (0.01 - 0.2x + x^2) = 10x^2$$

   Упростим:

   $$0.4 - 8x + 40x^2 = 10x^2$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$40x^2 - 10x^2 - 8x + 0.4 = 0$$ $$30x^2 - 8x + 0.4 = 0$$

   Умножим на 10 для удобства:

   $$300x^2 - 80x + 4 = 0$$