решите пожалуйста:
1) a tg x=sin x
2) ctg x=a cos x
3) a sin x=1
4) a sin 2x=cos x
​

1) \( a \tan x = \sin x \)

• Если \( \sin x = 0 \), то \( x = \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).
• Если \( \sin x \neq 0 \), делим на \( \sin x \): \( \frac{a}{\cos x} = 1 \Rightarrow \cos x = a \). При \( |a| \le 1 \) получаем \( x = \pm \arccos a + 2\pi k \).

Итак, решение: \( x = \pi k \) всегда; при \( |a| \le 1 \) также \( x = \pm \arccos a + 2\pi k \).

2) \( \cot x = a \cos x \)

• Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \).
• Если \( \cos x \neq 0 \), делим на \( \cos x \): \( \frac{1}{\sin x} = a \Rightarrow \sin x = \frac{1}{a} \) (при \( a \neq 0 \)). Тогда при \( |a| \ge 1 \) имеем \( x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{a} + \pi n \).

Итак: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) всегда; если \( |a| \ge 1 \) и \( a \neq 0 \), то также \( x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{a} + \pi n \). При \( a = 0 \) только \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \).

3) \( a \sin x = 1 \)

Если \( a = 0 \), решений нет. Если \( a \neq 0 \), то \( \sin x = \frac{1}{a} \). При \( |a| \ge 1 \) решение: \( x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{a} + \pi k \). При \( |a| < 1 \) решений нет.

4) \( a \sin 2x = \cos x \)

Преобразуем: \( 2a \sin x \cos x = \cos x \Rightarrow \cos x (2a \sin x - 1) = 0 \).

• \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k \).
• \( 2a \sin x = 1 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2a} \) (при \( a \neq 0 \)). Если \( |a| \ge \frac{1}{2} \), то \( x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{2a} + \pi n \).

Итак: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) всегда; если \( |a| \ge \frac{1}{2} \) и \( a \neq 0 \), то также \( x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{2a} + \pi n \). При \( a = 0 \) только \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \).

0 0 Пожаловаться