Докажите тождество (тригонометрия, 10 класс):
1) (2 + sin B)(2 - sin B) + (2 + cos B)(2 - cos B) = 7
2) ctg A + sin A / (1 + cos A) = 1 / sin A

Докажем первое тождество: \((2 + \sin B)(2 - \sin B) + (2 + \cos B)(2 - \cos B) = 7\).

Раскроем скобки по формуле разности квадратов: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Получим:

\((2^2 - \sin^2 B) + (2^2 - \cos^2 B) = (4 - \sin^2 B) + (4 - \cos^2 B) = 8 - (\sin^2 B + \cos^2 B)\).

По основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2 B + \cos^2 B = 1\), значит, выражение равно \(8 - 1 = 7\). Тождество доказано.

Докажем второе тождество: \(\operatorname{ctg} A + \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1}{\sin A}\).

Преобразуем левую часть. \(\operatorname{ctg} A = \frac{\cos A}{\sin A}\). Приведём к общему знаменателю \(\sin A(1+\cos A)\):

\(\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\sin A}{1+\cos A} = \frac{\cos A(1+\cos A) + \sin^2 A}{\sin A(1+\cos A)}\).

Раскроем числитель: \(\cos A + \cos^2 A + \sin^2 A = \cos A + (\cos^2 A + \sin^2 A) = \cos A + 1\).

Получаем \(\frac{1 + \cos A}{\sin A(1+\cos A)}\). Сократим на \(1+\cos A\) (при условии \(\cos A \neq -1\), что допустимо, так как знаменатель исходной дроби не равен нулю). Остаётся \(\frac{1}{\sin A}\). Тождество доказано.

0 0 Пожаловаться