Найдите комплексное число, равное квадрату сопряжённого.

Пусть комплексное число равно \(z = x + yi\). Тогда сопряжённое число:

\[ \overline z = x - yi \]

По условию:

\[ z = \overline z^2 \]

То есть:

\[ x + yi = (x - yi)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ x + yi = x^2 - y^2 - 2xyi \]

Приравниваем действительные и мнимые части:

\[ x = x^2 - y^2 \]

\[ y = -2xy \]

Из второго уравнения: \(y(1 + 2x)=0\).

Получаем ответы:

\[ z = 0, \quad z = 1, \quad z = -\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i, \quad z = -\frac12 - \frac{\sqrt3}{2}i \]

0 0 Пожаловаться