Учитель записал на доске натуральное число, больше 1. Маша умножила его на 6 и к результату прибавила 3. А Илья умножил записанное число на 3 и вычел из него 2. Затем учитель разделил число, полученное Машей, на число, полученное Ильей. В результате получилось целое число. Найдите число, записанное учителем.

Рассмотрим задачу шаг за шагом.

Обозначим число, записанное учителем, за $x$, где $x$ — натуральное число, больше 1.

1. Вычисления Маши:

Маша умножила число $x$ на 6 и прибавила 3. Значит, её результат:

2. Вычисления Ильи:

Илья умножил число $x$ на 3 и вычел 2. Значит, его результат:

3. Действие учителя:

Учитель разделил число $M$, полученное Машей, на число $I$, полученное Ильёй. При этом результат оказался целым числом. То есть:

Подставим $M$ и $I$ в эту дробь:

4. Преобразуем дробь:

Преобразуем уравнение:

Раскроем скобки:

Перенесём все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные слагаемые — в правую:

Вынесем $x$ за скобки:

Выразим $x$:

5. Условие целочисленности:

Так как $x$ — натуральное число, дробь $\frac{-2k - 3}{6 - 3k}$ должна быть натуральным числом. Для этого:

1. $6 - 3k \neq 0$ (знаменатель не равен нулю).
2. $-2k - 3$ должно делиться на $6 - 3k$.

Найдём подходящие значения $k$:

Рассмотрим $6 - 3k > 0$, так как $x > 1$. Это означает:

Проверим целые значения $k$, которые меньше 2: $k = 1$ и $k = 0$.

Случай 1: $k = 1$

Подставим $k = 1$ в выражение для $x$:

$x$ не является натуральным числом.

Случай 2: $k = 0$

Подставим $k = 0$ в выражение для $x$: